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les collections aristophil
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EINSTEIN Albert
(1879-1955).
MANUSCRIT autographe,
Naheliegende Modifikation
der allgemeinen Relativitätstheorie
; 4 pages in-4 ; en
allemand.
20 000 / 30 000 €
Important manuscrit scientifique inédit sur la « modification évi-
dente de la théorie générale de la relativité », par une théorie de
champ unifié avec un champ scalaire supplémentaire
.
On ne connaît pas d’autre étude d’Einstein sur ce sujet, et on ne
dispose d’aucune indication permettant de dater ce manuscrit.
« Die relativistische Theorie des Gravitationsfeldes geht davon aus,
dass letzteres durch eine Metrik (g
μ
ν
) allein beschrieben sei. Wir
wollen nun zeigen, dass es aus formalen Gründen nahe liegt, neben
der Metrik eine von ihr zunächst unabhängige skalare Dichte
f
ein-
zuführen, welche zusammen mit den g
μ
ν
erst das Gravitationsfeld
vollständig charakterisiert.
Wir betrachten den einmal kontrahierten Krümmungstensor [
formule
(1)]
wobei wir die
Γ
zunächst nicht als aus einer Metrik abgeleitet sondern
als Komponenten eines Feldes der (symmetrischen) infinitesimalen
Vektor-Verschiebung ansehen. Die zweite Klammer dieses Ausdruckes
hätte für
sich
selbst Tensor-Charakter, wenn
Γ
μ
α
α
ein Tensor wäre ;
wir knüpfen an sie folgende Überlegung. […]
Durch Kontraktion und Multiplikation mit der skalaren Dichte f erhält
man die skalare Dichte [
formule
] Da der erste Term selbst eine skalare
Dichte ist, so ist es auch der zweite. Hieraus folgt, dass die zweite
Klammer eine Vektordichte oder [
formule
] ein Vektor ist. Durch
absolute Ableitung desselben erhält man den Tensor [
formule
(2)] […]
Es ist also in einer wirklich natürlichen Weise einem Verschiebungs-
Feld und einer skalaren Dichte ein Tensor zugeordnet. (Die allgemeine
Tensor-Dichte
f
ersetzt hier die Wurzel aus der Determinante der g
μ
ν
).
Wir denken uns nun ausserdem zunächst unabhängig von den
Γ
eine
Metrik gμ
ν
gegeben. […]
Die
Γ
sind also identisch mit den aus den gμ
ν
gebildeten Christof-
fel’schen Symbolen wie in der ursprünglichen Theorie. […]
Bildet man aus (8a) die skalare Gleichung (durch Kontraction), so
verschwinden die elektromagnetischen Glieder nicht, wie es unbe-
friedigenderweise in der ursprünglichen Theorie der Fall ist. […]
Das Vorhandensein eines elektromagnetischen Feldes erzwingt also das
Auftreten eines von √-y abweichenden Wertes der skalaren Dichte
f
.
Wenn die skalare Dichte
f
nirgends verschwindet, so kann man durch
geeignete Koordinatenwahl die skalare Dichte
f
zu 1 machen, wodurch
die Feldgleichungen besonders einfach werden. Das so spezialisierte
Gleichungssystem ist aber nur mehr gegenüber Transformationen
von der Determinante 1 kovariant. […]
Es sei erwähnt, dass die Hamilton’sche Funktion
ℜ
des Gravita-
tionsfeldes im Falle, dass die g
μ
ν
bezw. g
μ
ν
und
f
allein als die zu
variierenden Grössen angesehen werden, durch partielle Integration
in die Form gebracht werden kann [
formule
(11)]
Die Natürlichkeit der so modifizierten Theorie erkennt man am besten,
wenn man die Feldgleichungen in dem ihnen angemessenen Koor-
dinatensystem hinschreibt, für welches f=1 ist »… Etc.
La théorie relativiste du champ gravitationnel suppose que ce dernier
est décrit par une métrique (g
μ
ν
) seule. Einstein veut montrer qu’il est
évident pour des raisons formelles d’introduire une densité scalaire
f
qui est initialement indépendante de la métrique, qui avec le g
μ
ν
caractérise d’abord entièrement le champ gravitationnel.
Nous considérons le tenseur de courbure une fois contracté [
formule
(1)] par lequel nous ne considérons pas initialement le
Γ
comme dérivé
d’une métrique mais comme les composants d’un champ du déca-
lage vectoriel infinitésimal (symétrique). La deuxième parenthèse de
cette expression aurait un caractère tenseur si
Γ
μ
α
α
était un tenseur...
Par contraction et multiplication par la densité scalaire
f
on obtient
la densité scalaire [
formule
]. Puisque le premier terme est lui-même
une densité scalaire, il est aussi le second. Il s’ensuit que la deuxième
parenthèse est une densité vectorielle ou [
formule
] un vecteur. En
dérivant le même absolument, on obtient le tenseur [
formule
(2)]…
Ainsi, un tenseur est affecté à un champ de déplacement et à une
densité scalaire de manière vraiment naturelle. (La densité générale
du tenseur
f
remplace la racine du déterminant de g
μ
ν
).
On pense maintenant aussi à une métrique g
μ
ν
indépendante de
Γ
. […]
Les
Γ
sont donc identiques aux symboles de Christoffel formés à
partir de g
μ
ν
comme dans la théorie originale. […]
Si l’on forme l’équation scalaire (par contraction) de (8a), les termes
électromagnétiques ne disparaissent pas, comme c’est le cas insa-
tisfaisant dans la théorie originale. […]
La présence d’un champ électromagnétique force donc l’occurrence
d’une valeur de la densité scalaire
f
qui s’écarte de √-y. Si la densité
scalaire
f
ne disparaît nulle part, la densité scalaire
f
peut être rendue
à 1 par un choix approprié de coordonnées, ce qui rend les équations
de champ particulièrement simples. Le système d’équations si spé-
cialisé n’est que covariant aux transformations du déterminant 1. […]
Il convient de mentionner que la fonction hamiltonienne
ℜ
du champ
gravitationnel dans le cas où g
μ
ν
ou g
μ
ν
et
f
seuls doivent être considérés
comme les variables à faire varier, peuvent être mis en forme par
intégration partielle [
formule
(11)]. Le caractère naturel de la théorie ainsi
modifiée peut être mieux reconnu si l’on écrit les équations de champ
dans le système de coordonnées approprié, pour lesquelles
f
=1… Etc.